論理回路 ブール代数の公理

論理回路はブール代数の理論をベースとしています。本記事では、ブール代数の公理を紹介します。

ブール代数の公理

単位元

$$X + 1 = 1$$

$$X + 0 = X$$

$$X\cdot 1 = X$$

$$X \cdot 0 = 0$$

冪等性

$$X + X = X$$

$$X \cdot X = X$$

交換律

$$X + Y = Y + X$$

$$X \cdot Y = Y \cdot X$$

結合律

$$(X + Y) + Z = X + (Y + Z)$$

$$(X \cdot Y) \cdot Z = X\cdot (Y \cdot Z)$$

補元律

$$X + \overline{X} = 1$$

$$X\cdot \overline{X} = 0$$

分配律

$$X \cdot (Y + Z) = X \cdot Y + X \cdot Z$$

$$X + Y\cdot Z = (X + Y) \cdot (X+Z)$$

吸収律

$$X + X\cdot Y = X$$

$$X \cdot (X + Y)$$

対合律

$$\overline{\overline{X}} = X$$

ド・モルガンの法則

$$\overline{X\cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$$

$$\overline{X + Y} = \overline{X}\cdot\overline{Y}$$

まとめ

本記事では、ブール代数の公理をまとめました。