離散数学　集合

離散数学について簡単にまとめました。今回は集合についてまとめました。

用語について

集合

議論の対象とするものの集まりを集合といいます。

元・要素

集合を構成している一つ一つのものを、集合の元または要素と言います。

要素aが集合Aを構成するものの１つのとき、aはAの元（要素）である、aはAに属する、Aはaを元（要素）としてもつなどと言い、

$$a \in A$$

と表します。この書き方の正式な決まりは特にないようですが、「a in A」などと読まれることが多いようです。

一方で、aがAの元でないとき

$$a \notin A $$

と表します。こちらは「a not in A」などと読み方がされます。

集合の相等

２つの集合AとBが持っている元が完全に一致するとき、かつ、そのときに限ってAとBは等しいと定め、

$$A=B$$

と表します。

集合は「ものの集まりの中に入っている要素が何か」という情報にのみ決定されており、それ以外の順番などには影響されないことを意味しています。

全体集合（普遍集合）

議論する対象とするものを全てひとまとまりにしたものを、その議論における全体集合（普遍集合）といいます。

数学の議論を行うときには、その議論の対象とするものの範囲を決めておいて、その中で議論していきます。例えば、整数論に関する議論を行うときの全体集合は整数の全体になります。

部分集合

集合A, Bについて、Aのすべての元がBの元であるとき、AはBの部分集合であるといい、

$$A \subset B$$

と表します。「A subset B」という読み方が多いようです。

空集合

元を１つも含まない集合を空集合といい、\(\phi\)あるい\(\emptyset\)はで表します。空集合は{}と書くこともできます。

補集合

全体集合Uのうち、集合Aが与えられ、Aに属さない元を集めた集合をAの補集合といい、

\(A^C\)、あるいは\(\bar{A}\)で表わします。

よく使われる数の集合

数学では、以下のような記号で集合が表されることが多いです。

記号(1)	記号(2)	数の集合
$$N$$	$$\mathbb{N}$$	自然数全体の集合(Natural numberに由来)
$$Z$$	$$\mathbb{Z}$$	整数全体の集合(Zahlenに由来)
$$Q$$	$$\mathbb{Q}$$	有理数全体の集合(Quotient number)に由来
$$R$$	$$\mathbb{R}$$	実数全体の集合(Real numberに由来)
$$C$$	$$\mathbb{C}$$	複素数全体の集合(Complex numberに由来)

自然数、整数、有理数、実数、複素数の関係

自然数は書籍によって、0を自然数に含める流儀と含めない流儀がありますので注意しましょう。

それぞれの数の集合は次のような包含関係が成り立ちます。

自然数はすべての整数であり、Nの元はすべてZの元です。

有理数は整数/整数で表される数であるため、整数はn/1のような形になるため、すべての整数は有理数である。

そして、無理数と有理数を合わせたものが実数です。

実数はすべて複素数です。実数xはx+0iと書けるため、すべての実数はすべて複素数です。

ここで、注意する必要があるのが虚数と複素数の違いです。

複素数をa+biとあらわしたとき、b=/ 0 のとき虚数といいます。つまり、虚数は実数以外の複素数のことをいいます。

集合の記法

集合を書き表す記法として、２つの記法があります。

外延的記法

１つめの記法が外延的記法です。この記法では、集合を書き表す記号として、{, }を用います。{}を用いて、集合の元をすべて書き並べて表す記法が外延的記法になります。すべての要素が書ききれるほど少ない場合は、こちらで書くこともあります。例えば、集合Aを{1, 2, 3, 4}などとあらわす方法です。

内包的記法

2つ目の記法が内包的記法です。外延的記法は、集合がもつ元の個数が少ない場合しか書き表すことがでません。また、単に並べるだけでは集合の性質が掴みにくので、より実用的な表し方として、条件を満たすものを集めた集合という記法が内包的記法になります。具体的には、ある集合Aを

$$ A= \{x | P(x)\}$$

という書き方を使用します。P(x)はxについての条件を表しています。このように、ある条件を満たすものを定義して、集合を表す方法を集合の内包的記法といいます。また、Uの元のなかで、P(x)を満たすものを集めた集合であることを明示的に示すために、一般的に以下のような書き方がされることが多いです。

$$A = \{ x\in U | P(x)\}$$

しかし、現実的には\(\{±2n| n \in N\}\)のように{式 | 条件}のような記法もよく用いられます。上記の記法を用いてかくと、

$$\{x | あるNの元nについてx = 2n または x = -2n\}$$

のようになる。実際には、\(\{±2n| n \in N\}\)のほうが短くかけて便利なため、よく用いられます。条件の中に「, 」がある場合がありますが、それは「かつ」を意味するのか「または」を意味するのかが文脈によって異なるので、注意しましょう。

例：5以下の自然数の集合

$$A = \{x \in N| x \leq 5\}$$

有限集合と無限集合

集合にはすべての集合の要素の数をn個のように言い表すことができるような集合を有限集合といいます。

一方で、n個のように言い表すことができない集合を無限集合といいます。上記の自然数、有理数、実数、複素数全体の集合はすべて無限集合になります。

集合の演算

2つの集合A, Bが与えられたときのことを考えます。

和集合

AとBの少なくともどちらか一方に属している元を集めた集合を、AとBの和集合といい、

$$A\cup{B}$$

で表します。内包的記法で表すと、

$$ A\cup{B} = \{ x | x\in A または x \in B\}$$

と書くことができます。

共通部分

AとBのどちらにも属している元を集めた集合を、AとBの共通部分といい、

$$ A\cap{B}$$

で表します。内包的記法で表すと、

$$ A\cap{B} = \{x | x\in A かつ x\in B\}$$

と書くことができます。また、\(A\cap{B} = \phi \)が成り立つとき、つまり、AとBが共通の元を持たないとき、AとBは互いに素であるといいます。

補集合

Aに属さない要素を集めた集合を補集合といい、内包的記法で表すと、

$$A^C = \{x | x\notin A\}$$

で書くことができます。

差集合

Aに属してBに属さないような元を集めてできる集合を、AとBの差集合といい、

$$A – B$$

で表し、内包的記法で表すと、

$$A – B= \{ x | x \in A かつ x \notin B\}$$

で書くことができます。

対称差

AとBのどちらか一方だけに属する要素を集めてできる集合をAとBの対称差といい、

$$ A \bigtriangleup B$$

で表し、内包的記法で表すと、

$$A \bigtriangleup B = \{x | (x\in A かつ x\notin B)または(x\notin A かつ x\in B)\}$$

で書くことができます。