オクターブバンドの中心周波数と帯域

オクターブバンド

オクターブバンドの比率

オクターブバンドの中心周波数はIEC 61260-1:2014によって規格化されています。

base-10, base-2が存在しますが、多くの音響機器ではbase-10が採用されているようです。base-10において、1オクターブあたりの比率Gは以下の式で定義されています。

$$G = 10^{(3/10)} \approx 1.995262$$

base-2の場合は、\(G = 2\)として定義されています。

中心周波数の定義

IEC 61260-1:2014における中心周波数の定義は下記のようになっています。

bが奇数の場合は、

$$f_m = f_r G^{x/b}$$

で定義され、bが偶数の場合は次の式で定義されます。

$$f_m = f_r G^{(2x + 1)/2b}$$

ここで、\(f_r\)は基準周波数を表します。bはオクターブの分割数を表しb=1なら1オクターブバンド, b=3なら1/3オクターブバンドということになります。\(x\)は任意の整数を表します。つまり、オクターブバンド系列のインデックスです。ここで、基準周波数\(f_r\)は1000Hzとしてバンド系列が定義されています。

オクターブの帯域端周波数

1オクターブとは上記の比率Gで定義されています。base-2の場合は2倍、base-10の場合は1.995262倍ということです。

オクターブバンドは中心周波数\(f_c\)を基準に、上下端が対数軸上で等距離になるように定義されています。対数周波数軸で見たときに、中心周波数と下端の距離 = 中心周波数と上端の距離 です。

このことからバンド幅の対称性条件が決まります。

中心周波数\(f_c\), 下端を\(f_l\)、上端を\(f_u\)とすると、対数軸で対象というのは

$$\log_{10}(f_c) – \log_{10}(f_l) = \log_{10}(f_u) – \log_{10}(f_c)$$

となります。これを整理すると

$$\frac{f_c}{f_l} = \frac{f_u}{f_c}$$

となります。

ここで、バンド全体の幅は、比率Gで定義されています。このことを使って、

$$\frac{f_u}{f_l} = G^{1/b}$$

となります。

これら、二つの条件を使って方程式を解くと

$$f_u = f_c \sqrt{G^{1/b}}$$

$$f_l = \frac{f_c}{\sqrt{G^{1/b}}}$$

実際の数値例

オクターブバンド

1/3オクターブバンド

python スクリプト

import numpy as np


def get_octave_ratio(base):
    if base == 10:
        return 10 ** (3.0 / 10.0)
    elif base == 2:
        return 2.0
    else:
        raise ValueError(f"Unknown base: {base}")

def octave_band_center_frequencies(fmin=20, fmax=20000, fractional=1, fr=1000.0):
    """
    IEC 61260-1:2014 (base-10) に基づいて中心周波数を計算
    """
    G = 10**(3/10)  # 1オクターブあたりの比率
    x = np.arange(-50, 50)
    if fractional % 2 == 0: # 偶数
        freqs = fr * G**((2*x+1)/(2*fractional))
    else: # 奇数
        freqs = fr * G**(x/fractional)

    return np.array([f for f in freqs if fmin <= f <= fmax])


def band_edges(fc, b=1):
    """中心周波数から下限・上限を求める"""
    G = 10**(3/10)
    fl = fc / (G**(1/(2*b)))
    fu = fc * (G**(1/(2*b)))
    return fl, fu

if __name__ == "__main__":
    print(octave_band_center_frequencies())
    print(octave_band_center_frequencies(fractional=3))

    print("オクターブバンド")
    for fc in octave_band_center_frequencies():
        print(fc, band_edges(fc))

    print("1/3オクターブバンド")
    for fc in octave_band_center_frequencies(fractional=3):
        print(fc, band_edges(fc, b=3))

まとめ

本記事では、オクターブバンドの中心周波数とその帯域について解説しました。