LTIシステムの動作はインパルス応答によって記述されますが、ディジタルフィルタに求められる動作は特定の周波数帯域を通過し、それ以外の周波数帯域を遮断するということが求められます。したがって、周波数軸上でのシステムの応答を考えます。
複素指数関数入力に対する応答
任意の周波数の正弦波入力に対する応答を計算する場合、複素正弦波が用いられます。これは線形なシステムでは、正弦波入力に対して、出力周波数は変化せず、振幅と位相のみを変化させるため、振幅と位相の両方を一度に扱える複素数が便利という理由で用いられています。
角周波数
この入力信号をディジタルフィルタ
ここで、
とすると、ディジタルフィルタの出力を次式で記述することができます。
上式に対して、複素数の振幅
したがって、出力は
この式からも、出力と入力は同じ周波数を持つことがわかります。
さらに、出力の振幅は
このことから、ディジタルフィルタに複素正弦波を入力したときの応答は
周波数応答は一般に複素数です。また、特にその応答の大きさ(振幅)を表す
フーリエ変換の立場からは、
差分方程式表現によるディジタルフィルタの周波数応答
ディジタルフィルタの差分方程式は次式で表されます。
これに対して、複素正弦波を入力することを考えます。
再帰形フィルタ(IIRフィルタ)の周波数応答
上式より、再帰形フィルタに複素正弦波を入力することを考えると、次式が得られます。
これを式変形すると、
となります。ここで、
とおくと、
となります。上式で与えられる
非再帰形フィルタ(FIRフィルタ)の周波数応答
非再帰形の周波数応答は上式の
非再帰形フィルタのインパルス応答は
伝達関数(Transfer function)
ディジタルフィルタの入力
を、ディジタルフィルタの伝達関数(transfer function)といいます。
上記で、示したディジタルフィルタの差分方程式を考えます。この方程式の両辺にz変換を適用することを考えます。
線形性より
ここで、線形性と推移の性質から
したがって、ディジタルフィルタの伝達関数
と求めることができます。このように表すと、伝達関数
ただし、増幅率はH[z]なので、定数ではなくzの関数ということになります。
ディジタルフィルタの伝達関数
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