フィルタの極と零点

2023年5月20日2025年3月10日

ディジタルフィルタの伝達関数$H[z]$は次式で表されました。

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{N} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{M} a_k z^{-k} }$$

分子部分がFIRフィルタに関係し、分母部分がIIRフィルタに関係します。

FIRフィルタの極と零点

上記の伝達関数を$H(z) = C(z)/D(z)$として、$D(z) = 1$とおけば次式の式が得られます。

$$H(z) = \sum_{k=0}^{N} b_k z^{-k}$$

この伝達関数は次のように、零点$z_k$を用いて表現することができます。

$$H(z) = (1-z_1 z^{-1})(1-z_2 z^{-1})\cdots(1-z_N z^{-1})$$

$$ = \prod_{N}^{k=1}(1-z_k z^{-k})$$

このことからわかるように、FIRフィルタはN個の零点$z_k$と$D(z) = 1$となる極は全てのkにおいて、$a_k = 0$となる場合です。したがって、極はN重の極$p_k = 0$を持ちます。

そのため、全零フィルタとも呼ばれます。

IIRフィルタは

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{N} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{M} a_k z^{-k} }$$

と表されるので、

$$H(z) = \frac{\prod_{k=1}^{N} (1-z_k z^{-1})}{ \prod_{k=1}^{M}(1-p_k z^{-1}) }$$

と表すことができます。したがって、N個の零点$z_k $、M個の極$p_k$を持ちます。

したがって、

IIRフィルタは上記のような式で記述できます。ここで、全零フィルタと同じような考え方で、極点のみのフィルタを考えてみると次式のようになります。

$$H(z) = \frac{b_0}{ \prod_{k=1}^{M}(1-p_k z^{-1}) }$$

このようなフィルタは全極フィルタと呼ばれます。

ディジタルフィルタを極点と零点という観点から見ると、３つの分類が可能です。

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